Question

20．求极限：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{2}^{n-1}}{{a}^{n-1}+{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 对a分类讨论，利用极限的运算性质即可得出．

解答 解：0＜a＜2时，原式=$\underset{lim}{n→∞}\frac{（\frac{a}{2}）^{n+1}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}×（\frac{a}{2}）^{n-1}+1}$=$\frac{-\frac{1}{4}}{1}$=-$\frac{1}{4}$．
a=2时，原式=$\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{3}{5}$．
a＞2时，原式=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-（\frac{2}{a}）^{n-1}×\frac{1}{{a}^{2}}}{\frac{1}{{a}^{2}}+（\frac{2}{a}）^{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{{a}^{2}}}$=a²．
综上可得：原式=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}，0＜a＜2}\\{\frac{3}{5}，a=2}\\{{a}^{2}，a＞2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了极限的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．