Question

9．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l₁，l₂，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l₁，l₂的距离分别为5千米和80千米，点N到l₁的距离为100千米，以l₁，l₂ 所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=$\frac{a}{x}$模型（其中a为常数）．
（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．
（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．

Answer 1

分析 （1）①由题知M（5，80）代入y=$\frac{a}{x}$，则a=400，进而求出y=$\frac{400}{x}$，得出坐标N（100，4），利用导数求出斜率，得出直线的方程$y=-\frac{400}{t^2}x+\frac{800}{t}$，进而求出与坐标轴的交点A（0，$\frac{800}{t}$），B（2t，0），利用勾股定理可得$f（t）=\sqrt{{{（\frac{800}{t}）}^2}+{{（2t）}^2}}$（t∈[5，100]）；
②运用基本不等式可得最小值，注意求出等号成立的条件；
（2）山体与x=5，x=100之间的面积为$\int_5^{100}{\frac{400}{x}dx}=400ln20$，得出山体与L₁、L₂围成的面积是400+400ln20，进而得出绿化带的面积是400+400ln20-800=400ln20-400．

解答 解：（1）①由题意M（5，80）代入y=$\frac{a}{x}$，则a=400，
∴y=$\frac{400}{x}$，N（100，4），
∴定义域为[5，100]．
∴P（t，$\frac{400}{t}$），
∵$y'=-\frac{400}{x^2}$，则公路l的方程：$y=-\frac{400}{t^2}x+\frac{800}{t}$，
令x=0，可得y=$\frac{800}{t}$；令y=0，可得x=2t．
∴$f（t）=\sqrt{{{（\frac{800}{t}）}^2}+{{（2t）}^2}}$（t∈[5，100]）；
②A（0，$\frac{800}{t}$），B（2t，0），
$f（t）=\sqrt{{{（\frac{800}{t}）}^2}+{{（2t）}^2}}$=$\sqrt{\frac{640000}{t^2}+4{t^2}}≥3200$，
当且仅当t=20∈[5，100]时等号成立，
所以当t为20时，公路l的长度最短长度是3200千米；
（2）山体与x=5，x=100之间的面积为
${∫}_{5}^{100}$$\frac{400}{x}$dx=400lnx|${\;}_{5}^{100}$=400（ln100-ln5）=400ln20，
山体与L₁、L₂围成的面积是400+400ln20，
L与y，x轴交点分别是A（0，40），B（40，0），公路与L₁、L₂围成的面积是800，
所以绿化带的面积是400+400ln20-800=400ln20-400（平方公里）．
答：当t为20时，公路L的长度最短，最短长度是3200千米；
在公路长度最短时，需在公路L与山体之间修建绿化带的面积是400ln20-400平方公里．

点评 本题考查了利用导数求直线方程和积分的应用，考查运算求解能力，难点是对题意的理解．