Question

7．若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；      
（2）求证：f（x）为减函数；
（3）当f（2）=$\frac{1}{4}$时，解不等式f（x-3）•f（5）≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据抽象函数的关系进行证明即可．
（2）根据抽象函数的关系，结合函数单调性的定义即可证明f（x）在R上为减函数；
（2）利用函数的单调性，将不等式进行转化即可解不等式即可．

解答 解：（1）：f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=f（$\frac{x}{2}$）f（$\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$）＞0，
（2）x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}＞1$，
∵对任意的x，y∈R，总有f（x）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在R上为减函数．
（3）由f（4）=f（2）f（2）=$\frac{1}{16}$，得f（2）=$\frac{1}{4}$，
原不等式转化为f（x-3+5）≤f（2），
结合（2）得：x+2≥2，得x≥0，
 故不等式的解集为[0，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及函数最值的求解，根据抽象函数的关系，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，