题目内容
已知函数f（x）=2cos（x+
）[sin（x+
）-
cos（x+
）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，
]，m[f（x）+
]+2=0恒成立，求实数m的取值范围．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，
| π |
| 3 |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用
分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+
）-
，易得值域和最小正周期；
（2）由x∈[0，
]可得sin（2x+
）∈[0，1]，进而可得f（x）+
=2sin（2x+
）∈[0，2]，由题意可得m的不等式组，解之可得．
| π |
| 3 |
| 3 |
（2）由x∈[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：
解：（1）f（x）=2cos（x+
）[sin（x+
）-
cos（x+
）]
=2cos（x+
）sin（x+
）-2cos（x+
）×
cos（x+
）]
=sin（2x+
）-2
cos2（x+
）
=sin（2x+
）-
cos（2x+
）-
=2sin（2x+
）-
，
∵sin（2x+
）∈[-1，1]，
∴f（x）=2sin（2x+
）-
∈[-2-
，2-
]，
∴最小正周期T=
=π．
（2）当x∈[0，
]时，2x+
∈[
，π]，
∴sin（2x+
）∈[0，1]
∴f（x）+
=2sin（2x+
）∈[0，2]．
由m[f（x）+
]+2=0知m≠0，
∴f（x）+
=-
，即0≤-
≤2，
解得m≤-1．即实数m的取值范围是[-∞，-1]．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
=2cos（x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
=sin（2x+
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
=sin（2x+
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 3 |
| 3 |
∵sin（2x+
| π |
| 3 |
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
（2）当x∈[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴sin（2x+
| π |
| 3 |
∴f（x）+
| 3 |
| π |
| 3 |
由m[f（x）+
| 3 |
∴f（x）+
| 3 |
| 2 |
| m |
| 2 |
| m |
解得m≤-1．即实数m的取值范围是[-∞，-1]．
点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和值域，属于基本知识的考查．
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下列区间中，函数f（x）=2x-3有零点的区间是（ ）
| A、（-1，0） |
| B、（0，1） |
| C、（1，2） |
| D、（2，3） |
如表给出的是某产品的产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据：
根据上表提供的数据，得出y关于x的线性回归方程为
=0.7x+
，试预测当产量x=8时，生产能耗y约为（ ）
| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
 |
| y |
|
| a |
| A、4.95 | B、5.57 |
| C、5.95 | D、6.75 |
