Question

19．已知f（x）=-x³-2x²+4x，若对x∈[-3，3]恒有f（x）≥m²-14m成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，3]
• B． [11，+∞）
• C． （3，11）
• D． [3，11]

Answer 1

分析 要使原式恒成立，只需 m²-14m≤f（x）_min，然后再利用导数求函数f（x）=-x³-2x²+4x，当x∈[-3，3]的最值即可．

解答 解：因为f（x）=-x³-2x²+4x，当x∈[-3，3]
所以f′（x）=-3x²-4x+4，令f′（x）=0得x=$\frac{2}{3}$或x=-2，
因为该函数在闭区间[-3，3]上连续可导，且极值点处的导数为零，
所以最小值一定在端点处或极值点处取得，
而f（-3）=-3，f（-2）=-8，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{40}{27}$，f（3）=-33，
所以该函数的最小值为-33，
因为f（x）≥m²-14m恒成立，
只需m²-14m≤f（x）_min，
即m²-14m≤-33，即m²-14m+33≤0
解得3≤m≤11．
故选：D．

点评 本题考查了不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只是从端点值和极值中找最值，而极值点处导数为零，因此最终是从导数为零、端点值中找的最值．