Question

18．已知点A是抛物线x²=2y上位于第一象限的点，焦点F，且$|AF|=\frac{5}{2}$，过A，F的直线l交抛物线于点B．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）在抛物线AOB部分上求一点P，使P到直线l距离最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，求出抛物线的焦点坐标和准线方程，抛物线定义得：$|AF|=y+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，解可得y的值，进而可得A的坐标，结合F的坐标计算可得直线l的方程；
（Ⅱ）分析可得当P在切点处时，点P到直线l的距离最大，设切点P（x₀，y₀），将抛物线的方程变形为$y=\frac{x^2}{2}$求导得y'=x，由直线l的方程计算可得P的坐标，进而由点到直线的距离公式计算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，抛物线x²=2y的焦点为$F（0，\frac{1}{2}）$，准线方程为$y=-\frac{1}{2}$，
设A（x，y）（x＞0），
则由抛物线定义得：$|AF|=y+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，
解可得y=2，
又由线x²=2y，则x=2，则A的坐标为（2，2）；
所以直线l的方程为：$y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$，即3x-4y+2=0；
（Ⅱ）平移直线l与抛物线相切，当P在切点处时，点P到直线l的距离最大
设切点P（x₀，y₀），由$y=\frac{x^2}{2}$求导得：y'=x，
所以切线斜率$k={x_0}=\frac{3}{4}$，∴${x_0}=\frac{3}{4}，{y_0}=\frac{9}{32}$，
显然x_B＜x₀＜x_A，
∴$P（\frac{3}{4}，\frac{9}{32}）$
直线l：3x-4y+2=0，所以P到直线l的距离$d=\frac{{|3{x_0}-4{y_0}+2|}}{5}=\frac{5}{8}$
所以所求的点$P（\frac{3}{4}，\frac{9}{32}）$，距离最大值为$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查抛物线的几何性质，关键是依据题意，求出抛物线的标准方程．