Question

已知数列{a_n}满足：S_n=1-a_n（n∈N^*），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）试求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：{b_n}=，试求{b_n}的前n项和公式T_n；
（III）设c_n=，数列{c_n}的前n项和为P_n，求证：P_n＞2n-．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n=1-a_n知S_n+1=1-a_n+1，故a_n=1=a_n（n∈N^*），由此能导出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）b_n==n•2ⁿ，（n∈N^*），所以T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，再由错位相减法能导出T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹=2，（n∈N^*）．
（III）由c_n==+=+=1-+1+=2-（-），能导出P_n＞2n-（+++…+）=2n-=2n-+＞2n-，（n∈N^*）．
解答：解：（Ⅰ）S_n=1-a_n①
∴S_n+1=1-a_n+1②
②-①a_n+1=-a_n+1+a_n
∴a_n=1=a_n（n∈N^*）又n=1时，a₁=1-a₁
∴a₁=，a_n=•=（n∈N^*）
（Ⅱ）b_n==n•2ⁿ，（n∈N^*）
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ③
2T_n=1×2^{2}+2×3²+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹④
③-④得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹
整理得：T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹=2，（n∈N^*）
（III）∵c_n==+=+=1-+1+=2-（-）
又-==＜=＜
∴P_n＞2n-（+++…+）=2n-=2n-+＞2n-，（n∈N^*）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．