Question

已知函数的图象在点处的切线方程为．[来

（1）用表示出，；

（2）证明：当时，在上恒成立；

（3）证明：．

 

Answer 1

（1）；（2）由（1）得，令，，

，．

，．，，是增函数，所以，即，故当时，．所以当时，在上恒成立．

（3）由（2）知，当时，在上恒成立．

令，则，当且仅当时等号成立，即当时，总有．

令，则，即．

令，得到个不等式并将之累加得，整理得

．

【解析】

试题分析：（1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出，与的关系；

（2）利用不等式，构造函数，问题转化为在上恒成立，利用导数求出函数在上的最小值大于0，求的取值范围；

（3）由（1）可知当时，在上恒成立，则当时，在上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和即可推出要证的结论．

试题解析：（1），则有，，代入得

，解得．

（2）由（1）得，令，，

，．

，．，，是增函数，所以，即，故当时，．所以当时，在上恒成立．

（3）由（2）知，当时，在上恒成立．

令，则，当且仅当时等号成立，即当时，总有．

令，则，即．

令，得到个不等式并将之累加得，整理得

．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．