Question

已知两点P（-1，0），Q（1，0），直线PG，QG相交于点G，且它们的斜率之积是3，设点G的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过定点F（2，0）的直线交曲线E于B，C两点，直线PB、PC分别交直线x=

1

2

于点M，N，试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用直线PG，QG相交于点G，且它们的斜率之积是3，建立方程，即可求曲线E的方程；
（2）分类讨论，证明

FM

•

FN

=0，即FM⊥FN，可得结论．

解答： 解：（1）设点G的坐标为（x，y），
则直线PG的斜率kPG=

y

x+1

(x≠-1)，
直线QG的斜率kQG=

y

x-1

(x≠1)
由已知有

y

x+1

•

y

x-1

=3(x≠±1)
化简整理得，点G的轨迹方程为x2-

y2

3

=1(x≠±1)
（2）①当直线BC与x轴垂直时，该方程为x=2，则B（2，3），C（2，-3）
PB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为(

1

2

，

3

2

)，

FM

=（-

3

2

，

3

2

）
同理可得

FN

=（-

3

2

，-

3

2

）
因此

FM

•

FN

=(-

3

2

)2+

3

2

×(-

3

2

)=0
②当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0）
与双曲线x2-

y2

3

=1联立消去y得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0
由题意知3-k²≠0且△＞0
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
则x₁+x₂=

4k2

k2-3

，x₁x₂=

4k2+3

k2-3

，
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=k²（

4k2+3

k2-3

-2×

4k2

k2-3

+4）=

-9k2

k2-3

因为x₁≠-1，x₂≠-1，所以直线PB的方程为y=

y1

x1+1

（x+1）
因此M点的坐标为（

1

2

，

3y1

2(x1+1)

）

FM

=（-

3

2

，

3y1

2(x1+1)

），同理可得

FN

=（-

3

2

，

3y2

2(x2+1)

）
因此

FM

•

FN

=

9

4

+

-81k2 k2-3

4( 4k2+3 k2-3 + 4k2 k2-3 +1)

=0
综上

FM

•

FN

=0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识，属于中档题．