Question

20．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，点D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁C₁C所成的角为α，则sinα的值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 如图所示，分别取AC，A₁C₁的中点O，O₁，连接OO₁，取OE=1，连接DE，B₁O₁，AE．利用等边三角形的性质与直棱柱的性质可得：BO⊥侧面ACC₁A₁．四边形BODE是矩形．DE⊥侧面ACC₁A₁．因此∠DAE是AD与平面AA₁C₁C所成的角，为α，再利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：如图所示，
分别取AC，A₁C₁的中点O，O₁，连接OO₁，取OE=1，连接DE，B₁O₁，AE．
∴BO⊥AC，
∵侧棱AA₁⊥底面ABC，∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱．
由直棱柱的性质可得：BO⊥侧面ACC₁A₁．
∴四边形BODE是矩形．
∴DE⊥侧面ACC₁A₁．
∴∠DAE是AD与平面AA₁C₁C所成的角，为α，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=OB．
AD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
在Rt△ADE中，sinα=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了直棱柱的性质、空间角、空间位置关系、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．