Question

5．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，求抛物线的方程．

Answer 1

分析 由题意得直线AB的方程为y=x-$\frac{p}{2}$，与抛物线方程消去y关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义得出|AB|=4p=8，从而解出p的值，则抛物线的方程可求．

解答 解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x-$\frac{p}{2}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，
得${x}^{2}-3px+\frac{{p}^{2}}{4}=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
根据抛物线的定义，得|AB|=x₁+x₂+p=4p=8，
解得p=2．
∴抛物线的方程为y²=4x．

点评 本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p的值．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．