Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}$=1（m＞0）．
（1）若m=2，求椭圆C的离心率及短轴长；
（2）如存在过点P（-1，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=2时，椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1，由此能求出椭圆C的离心率及短轴长．
（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$，得（m+4k²）x²+8k²x+4k²-4m=0．由此利用根的判别式、韦达定理、向量垂直，能求出m的范围；当直线的斜率不存在时，因为以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点，得到$m=\frac{4}{3}$，由此能求出m的取值范围．

解答 解：（1）当m=2时，椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1．
a²=4，b²=2，c²=4-2=2，
∴a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
∴离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
短轴长2b=2$\sqrt{2}$．
（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$，得（m+4k²）x²+8k²x+4k²-4m=0．
∴△＞0，${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{m+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4m}}{{m+4{k^2}}}$．
∵以线段AB为直径的圆恰好过原点，
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．∴x₁x₂+y₁y₂=0，即$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}=0$．
∴$（1+{k^2}）\frac{{4{k^2}-4m}}{{m+4{k^2}}}+{k^2}（\frac{{-8{k^2}}}{{m+4{k^2}}}）+{k^2}=0$．即${k^2}=\frac{4m}{4-3m}$．
由${k^2}=\frac{4m}{4-3m}≥0$，m＞0，所以$0＜m＜\frac{4}{3}$．
当直线的斜率不存在时，∵以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点，∴A（-1，1）．
∴$\frac{1}{4}+\frac{1}{m}=1$，即$m=\frac{4}{3}$．
综上所述，m的取值范围是$0＜m≤\frac{4}{3}$．

点评 本题考查椭圆的离心率、短轴长的求法，考查实数的取值范围的求法，考查圆锥曲线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．