Question

（1）已知

x

=2

b

-3

a

，

y

=2

a

+

b

，|

a

|=|

b

|=1，

a

与

b

的夹角为60°，求

x

与

y

的夹角．
（2）已知

a

=（3，4），

AB

与

a

平行，且|

AB

|=10，点A的坐标为（-1，3），求点B的坐标．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由条件求得

x

•

y

、|

x

|、|

y

|的值，再根据两个向量的夹角公式求得

x

与

y

的夹角的余弦值，可得

x

与

y

的夹角．
（2）设点B的坐标是（x，y），再根据

AB

与

a

平行，且|

AB

|=10，求得x、y的值，可得点B的坐标．

解答： 解：（1）由题意可得

x

•

y

=

a

•

b

+2|

b

|2-6|

a

|2=-

7

2

，|

x

|=

(2 b -3 a )2

=

4| b |2+9| a |2-12 a • b

=

7

，
|

y

|=

(2 a + b )2

=

4| a |2+| b |2+4 a • b

=

7

．
设

x

与

y

的夹角为α，由 cosα=

x • y

| x || y |

=-

1

2

，可得α=120°．
（2）设点B的坐标是（x，y），则

AB

=(x+1，y-3)，∵|

AB

|=10，∴（x+1）²+（y-3）²=100①．
又∵

AB

∥

a

，∴3（y-3）=4（x+1）②，由①②可得

x=5 y=11

，或

x=-7 y=-5

，∴点B的坐标是（5，11），或（-7，-5）．

点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求向量的模，属于基础题．