题目内容
为贯彻“激情工作，快乐数学”的理念，某学校在学习之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为
．
（1）求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
| 2 |
| 3 |
（1）求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（1）选手甲答3道题进入决赛的概率为(
)3=
，选手甲答4道题进入决赛的概率为
(
)2•
•
=
，由此能求出选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率．
（2）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望．
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
| C | 2 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
（2）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望．
解答：
解：（1）选手甲答3道题进入决赛的概率为(
)3=
，
选手甲答4道题进入决赛的概率为
(
)2•
•
=
，
∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P=
+
=
．（4分）
（2）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．
则有P(ξ=3)=(
)3+(
)3=
，
P(ξ=4)=
(
)2•
•
+
(
)2•
•
=
，
P(ξ=5)=
(
)2•(
)2•
+
(
)2•(
)2•
=
，
∴Eξ=3×
+4×
+5×
=
．（8分）
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
选手甲答4道题进入决赛的概率为
| C | 2 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P=
| 8 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
| 16 |
| 27 |
（2）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．
则有P(ξ=3)=(
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
P(ξ=4)=
| C | 2 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| C | 2 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 10 |
| 27 |
P(ξ=5)=
| C | 2 4 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| C | 2 4 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
| ξ | 3 | 4 | 5 | ||||||
| P |
|
|
|
| 1 |
| 3 |
| 10 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
| 107 |
| 27 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则
的定义域为（ ）
| f(2x) |
| x |
| A、{x|0＜x≤4} |
| B、{x|0≤x≤4} |
| C、{x|0＜x≤1} |
| D、{x|0≤x≤1} |