Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别为PA，BC的中点，且PD=AD=2

2

．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AD中点E，连结ME，NE，由已知得ME∥PD，NE∥CD，由此能证明平面MNE∥平面PCD．
（2）由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得PD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面PAC⊥平面PBD．
（3）PD为三棱锥P-ABC的高，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取AD中点E，连结ME，NE，
由已知得M，N分别是PA，BC的中点，
∴ME∥PD，NE∥CD，
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面PCD．
（2）证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（3）解：PD⊥平面ABCD，∴PD为三棱锥P-ABC的高，
∵底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，
M，N分别为PA，BC的中点，且PD=AD=2

2

．
∴三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S△ABC•PD=

8 2

3

．

点评：本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．