Question

4．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，a₂=3，且a₁、a₃、a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{2^{a_n}}，}&{n为奇数}\\{\frac{2}{3}{a_n}，}&{n为偶数}\end{array}}\right.$，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S₁₆．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题${a_3}^2={a_1}{a_7}$，即${（{a_1}+2d）^2}={a_1}（{a_1}+6d）$，
又d≠0，∴a₁=2d，
又a₁+d=3，联立解得a₁=2，d=1．
∴a_n=n+1．
（Ⅱ）由题得${S_{16}}=（{2^{a_1}}+{2^{a_3}}+…+{2^{{a_{15}}}}）+\frac{2}{3}（{a_2}+{a_4}+…+{a_{16}}）$
=$\frac{{4（1-{4^8}）}}{1-4}+\frac{2}{3}×\frac{（3+17）8}{2}=\frac{1}{3}×{4^9}+52$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．