Question

18．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的长轴长为4，焦距为2．
（Ⅰ） 求C的方程；
（Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 依题意，2a=4，所以a=2；2c=2，由此可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设出A，B的坐标，分别代入椭圆方程求得A的坐标，由直线的斜率公式得答案．

解答 解：（Ⅰ） 依题意，2a=4，所以a=2；2c=2，
所以b²=a²-c²=3．
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）  设A（x₀，y₀），由题意知，B（2x₀，2y₀-3），
∵A，B都在椭圆上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，$\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{（2{y}_{0}-3）^{2}}{3}$=1，
联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-1}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
当A（-1，$\frac{3}{2}$）时，直线m的斜率为$\frac{3-\frac{3}{2}}{0+1}$=$\frac{3}{2}$；
当A（1，$\frac{3}{2}$）时，直线m的斜率为$\frac{3-\frac{3}{2}}{0-1}$=-$\frac{3}{2}$．
∴直线m的斜率为±$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程，考查了中点坐标公式的应用，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．