Question

已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式f（y-3）+f（

4x-x2-3

）=0恒成立，则

y

x

的取值范围是（　　）

• A、[2-

  2

  3

  3

  ，2+

  2

  3

  3

  ]
• B、[1，2+

  2

  3

  3

  ]
• C、[2-

  2

  3

  3

  ，3]
• D、[1，3]

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,直线与圆

分析：由平移规律，可得y=f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为奇函数，即有f（-x）=-f（x），结合函数的单调性等式可化为y-3=-

4x-x2-3

，平方即可得到y为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，再由直线的斜率公式，

y

x

=

y-0

x-0

可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，通过图象观察，过O的直线OA，OB的斜率即为最值，求出它们即可．

解答： 解：函数y=f（x）的图象可由y=f（x-1）的图象向左平移1个单位得到，
由于y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
则y=f（x）的图象关于原点对称，
则f（x）为奇函数，即有f（-x）=-f（x），
则等式f（y-3）+f（

4x-x2-3

）=0恒成立即为
f（y-3）=-f（

4x-x2-3

）=f（-

4x-x2-3

），
又f（x）是定义在R上的增函数，则有y-3=-

4x-x2-3

，
两边平方可得，（x-2）²+（y-3）²=1，
即有y=3-

4x-x2-3

为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，
则

y

x

=

y-0

x-0

可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，
如图，k_OA=

3-0

1-0

=3，取得最大，过O作切线OB，设OB：y=kx，
则由d=r得，

|2k-3|

1+k2

=1，解得，k=2±

2 3

3

，
由于切点在下半圆，则取k=2-

2 3

3

，即为最小值．
则

y

x

的取值范围是[2-

2 3

3

，3]．
故选C．

点评：本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查直线的斜率和直线和圆的位置关系，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．