Question

9．（重点中学做）设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+3y-6≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，则 z=x²+y²的取值范围是（　　）

• A． [2，2$\sqrt{5}$]
• B． [10，20]
• C． [4，20]
• D． [$\frac{18}{5}$，20]

Answer 1

分析 由约束条件作出平面区域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，由z=x²+y²的几何意义得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+3y-6≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，
由图可知，可行域内的点到原点距离的最小值为d=$\frac{|-6|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{6\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得A（4，2），
|OA|=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴z=x²+y²的取值范围是：[$\frac{18}{5}，20$]．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．