Question

14．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60°（如图所示），考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9$\sqrt{3}$m²，且髙度不低于$\sqrt{3}$m．问防洪堤横断面的腰长AB为多少时，横断面的外周长AB+BC+CD最小，并求最小外周长：

Answer 1

分析 先由横断面积用AB=x表示BC，从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于$\sqrt{3}$米，求解；求函数y的最小值，根据函数特点及条件可选用基本不等式解决．

解答 解：（1）设腰长AB=x，
即有9$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（AD+BC）h，其中AD=BC+2•$\frac{x}{2}$=BC+x，h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴9$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（2BC+x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，得BC=$\frac{18}{x}$-$\frac{x}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{h=\frac{\sqrt{3}}{2}x≥\sqrt{3}}\\{BC=\frac{18}{x}-\frac{x}{2}＞0}\end{array}\right.$，得2≤x＜6，
∴y=BC+2x=$\frac{18}{x}$+$\frac{3}{2}$x（2≤x＜6），
由y=$\frac{18}{x}$+$\frac{3}{2}$x≥2$\sqrt{\frac{18}{x}•\frac{3x}{2}}$=6$\sqrt{3}$，
当并且仅当$\frac{18}{x}$=$\frac{3}{2}$x，即x=2$\sqrt{3}$时等号成立．
∴外周长AB+BC+CD的最小值为6$\sqrt{3}$米，此时腰长AB为2$\sqrt{3}$米．

点评 本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．