平面向量$\overrightarrow a=(1.2)$.$\overrightarrow b=(6.3)$.$\overrightarrow c=m\overrightarrow a+\overrightarrow b$.且$\overrightarrow c$与$\overrightarrow a$的夹角等于$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

19．平面向量$\overrightarrow a=（1，2）$，$\overrightarrow b=（6，3）$，$\overrightarrow c=m\overrightarrow a+\overrightarrow b$（m∈R），且$\overrightarrow c$与$\overrightarrow a$的夹角等于$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$的夹角，则m=3．

分析由已知向量的坐标结合$\overrightarrow c$与$\overrightarrow a$的夹角等于$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$的夹角列式求得m值．

解答解：∵$\overrightarrow a=（1，2）$，$\overrightarrow b=（6，3）$，∴$\overrightarrow c=m\overrightarrow a+\overrightarrow b$=（m+6，2m+3），
∴$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{b}|=3\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{（m+6）^{2}+（2m+3）^{2}}$，
$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=5m+12，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}$=12m+45，
又$\overrightarrow c$与$\overrightarrow a$的夹角等于$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$的夹角，
∴$\frac{5m+12}{\sqrt{5}|\overrightarrow{c}|}=\frac{12m+45}{3\sqrt{5}|\overrightarrow{c}|}$，解得：m=3．
故答案为：3．

点评本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是中档题．

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