Question

15．设直线$l：x=-\frac{a^2}{c}$与双曲线$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的两条渐近线交于A，B两点，左焦点F（-c，0）在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A． $（0，\sqrt{2}）$
• B． $（1，\sqrt{2}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• D． $（\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围．

解答 解：双曲线$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的渐近线y=±$\frac{b}{a}$x，准线x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，
求得A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
左焦点在以AB为直径的圆内，
得出-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c＜$\frac{ab}{c}$，
∴b＜a，
∴c²＜2a²
∴1＜e＜$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查圆内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1．