Question

13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.（t$为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，求圆C的直角坐标方程；
（2）利用参数的几何意义，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值．

解答 解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ，可化为直角坐标方程为x²+y²=6y，即x²+（y-3）²=9；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.（t$为参数），代入x²+（y-3）²=9，可得t²+2（cosα-sinα）t-7=0，
∴t₁+t₂=-2（cosα-sinα），t₁t₂=-7，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{1}{7}\sqrt{4（cosα-sinα）^{2}+28}$=$\frac{1}{7}\sqrt{32-4sin2α}$≥$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程的运用，属于中档题．