Question

1．已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 若f（α）=$\frac{3}{4}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用f（α）=$\frac{3}{4}$结合二倍角即可求sin2α的值

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$．
（Ⅱ）∵f（α）=$\frac{3}{4}$，即f（α）=sinα+cosα=$\frac{3}{4}$
又∵sin²α+cos²α=1，
∴（sinα+cosα）²=$\frac{9}{16}$
∴1+2sinαcosα=$\frac{9}{16}$，
sin2α=2sinαcosα=-$\frac{7}{16}$．
故f（α）=$\frac{3}{4}$时sin2α的值为-$\frac{7}{16}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用的计算．属于基础题．