Question

若?_x∈（0，

1

2

），均有9^x＜log_ax（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（　　）

• A、[2 -

  1

  3

  ，1）
• B、（0，2 -

  1

  3

  ]
• C、（2 

  1

  3

  ，3）
• D、（1，2 

  1

  3

  ）

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：对任意的0＜x＜

1

2

时，总有9^x≤log_ax恒成立，则在0＜x＜

1

2

时，y=log_ax的图象恒在y=9^x的图象的上方，在同一坐标系中，分别画出指数和对数函数的图象，由此能求出实数a的取值范围．

解答： 解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），
当0＜x＜

1

2

时，函数y=9^x的图象如右图所示：
∵对任意的0＜x＜

1

2

，总有9^x＜log_ax恒成立，
若不等式9^x＜log_ax恒成立，则y=log_ax的图象恒在y=9^x的图象的上方，
∵y=log_ax的图象与y=9^x的图象交于（

1

2

，3）点时，a=2-

1

3

，
故所求的y=log_ax的图象对应的底数a应满足2-

1

3

≤a＜1．
故选A．

点评：本题以指数函数与对数函数图象与性质为载体考查了函数恒成立问题，其中熟练掌握指数函数和对数函数的图象与性质是解答本题的关键．