Question

已知向量

a

=（1，cos2x），

b

=（sin2x，-

3

），函数f（x）=

a

•

b

．
（1）若x=

π

3

，求|

a

|；
（2）若f（

a

2

+

2π

3

）=

6

5

，求f（a+

5π

12

）的值；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用模的公式，即可得到；
（2）运用平面向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式及二倍角的余弦公式，即可得到；
（3）由x∈[0，

π

2

]，则2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，运用正弦函数的图象和性质，即可得到值域．

解答： 解：（1）

a

=（1，cos2x）=（1，-

1

2

），
则|

a

|=

1+ 1 4

=

5

2

；
（2）向量

a

=（1，cos2x），

b

=（sin2x，-

3

），
则函数f（x）=

a

•

b

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
f（

α

2

+

2π

3

）=2sin（α+

4π

3

-

π

3

）=-2sinα=

6

5

，
则sinα=-

3

5

，
f（α+

5π

12

）=2sin（2α+

5π

6

-

π

3

）=2cos2α=2（1-2sin²α）
=2（1-2×

9

25

）=

14

25

；
（3）由x∈[0，

π

2

]，则2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，则f（x）∈[-

3

，2]．
则f（x）的值域为[-

3

，2]．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式和性质，考查两角和差的正弦公式，及二倍角的余弦公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．