题目内容
16．已知函数f（x）的定义域为R．?a，b∈R，若此函数同时满足：（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（ ）
①y=x+sinx；②y=3x-（$\frac{1}{3}$）x；③y=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{-\frac{1}{x}，x≠0}\end{array}\right.$．
| A． | ①② | B． | ①③ | C． | ②③ | D． | ①②③ |
分析 容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．
解答 解：容易判断①②③都是奇函数；
y′=1-cosx≥0，y′=ln3（3x+3-x）＞0；
∴①②都在定义域R上单调递增；
③在定义域R上没有单调性；
设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=-b，f（a）=f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）=0；
a+b＞0时，a＞-b；
∴f（a）＞f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）＞0；
∴①②是Ω函数；
对于函数③，a+b＞0时，得到a＞-b；
∵f（x）不是增函数；
∴得不到f（a）＞f（-b），即得不出f（a）+f（b）＞0．
故选：A
点评 考查奇函数的定义，会判断一个函数是否为奇函数，根据导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性的运用，反比例函数的单调性，函数单调性定义．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，
7．若函数f（x）=lg（10x+1）-ax是偶函数，$g（x）=\frac{{{4^x}+b}}{2^x}$是奇函数，则a+b的值为（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 1 | C． | $-\frac{1}{2}$ | D． | -1 |