Question

已知经过点（0，-8）的直线l与抛物线C：x²=

1

8

y相切，则切点P到抛物线C准线的距离为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,点到直线的距离公式

专题：导数的综合应用

分析：化抛物线方程为一般函数式，设出切点坐标，求导后得到函数在切点处的导数，写出点斜式方程，代入点（0，-8），得到切点的坐标，然后由抛物线的定义求得切点P到抛物线C准线的距离．

解答： 解：由x²=

1

8

y，得y=8x²，∴y′=16x．
设切点坐标为（x₀，y₀），∴y′|x=x0=16x0，
∴直线l的方程为y-8x02=16x0(x-x0)，
代入点（0，-8），得-8-8x02=16x₀（0-x₀），
即x02=1，解得：x₀=±1．
∴y0=8x02=8，
则切点P到抛物线C准线的距离为8+

1

32

=

257

32

．
故答案为：

257

32

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用抛物线的定义求抛物线上的点到准线的距离，体现了数学转化思想方法，是中档题．