Question

若x＞0，y＞0，且

2

x

+

8

y

=1，求xy及x+y的最小值．

Answer 1

分析：利用已知条件利用基本不等式求出xy的最小值，转化x+y=（x+y）（

2

x

+

8

y

）化简后利用基本不等式求出最小值即可．

解答：解：∵x＞0，y＞0，
∴1=

2

x

+

8

y

≥2

2 x × 8 y

，得xy≥64，
当且仅当

2 x = 8 y 2 x + 8 y =1

即

x=4 y=16

时取等号．
∵x＞0，y＞0，
∴

y

x

＞0，

x

y

＞0．
∴x+y=（x+y）（

2

x

+

8

y

）=10+

2y

x

+

8x

y

≥10+2

2y x × 8x y

=18．
当且仅当

2y x = 8x y 2 x + 8 y =1

，即

x=6 y=12

，
∴x=6，y=12时，x+y有最小值18．

点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．