Question

7．设g（x）为定义在R上的奇函数，且g（x）不恒为0，若$f（x）=（\frac{1}{{{a^x}-1}}-\frac{1}{b}）g（x）$（a＞0且a≠1）为偶函数，则常数b=（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 若$f（x）=（\frac{1}{{{a^x}-1}}-\frac{1}{b}）g（x）$（a＞0且a≠1）为偶函数，则函数h（x）=$\frac{1}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{b}$也为奇函数，即h（-x）=-h（x）恒成立，进而得到b值．

解答 解：∵g（x）为定义在R上的奇函数，且g（x）不恒为0，
若$f（x）=（\frac{1}{{{a^x}-1}}-\frac{1}{b}）g（x）$（a＞0且a≠1）为偶函数，
则函数h（x）=$\frac{1}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{b}$也为奇函数，
故h（-x）=-h（x）恒成立，
即$\frac{1}{{a}^{-x}-1}-\frac{1}{b}$+$\frac{1}{{a}^{x}-1}-\frac{1}{b}$=$\frac{1-{a}^{x}}{{a}^{x}-1}-\frac{2}{b}$=$-1-\frac{2}{b}$=0，
解得：b=-2，
故选：A

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，正确理解并熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键．