Question

13．已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明：B为锐角．

Answer 1

分析 根据余弦定理和基本不等式，利用分析法和综合法即可证明．

解答 解：分析法：欲证∠B为锐角，即证cosB＞0，
即证$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$＞0，
即证：a²+c²＞b²，
由于$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
即证a²+c²＞（$\frac{2ac}{a+c}$）²，
即证（a²+c²）（a+c）²＞4a²c²，
考虑到a²+c²≥2ac，（a+c）²≥4ac，
所以（a²+c²）（a+c）²≥8a²c²＞4a²c²，
所以∠B为锐角
综合法：∵$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
∴a²+c²≥2ac，（a+c）²≥4ac，
∴（a²+c²）（a+c）²≥8a²c²＞4a²c²，
∴a²+c²＞（$\frac{2ac}{a+c}$）²，
又∵$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
∴a²+c²＞b²，
即cosB＞0，
∴∠B为锐角

点评 本题考查了利用综合法及分析法证明，关键是掌握综合法与分析法的原理、步骤及格式