Question

5．若二次函数f（x）满足f（1）=f（3）=3，且它的图象与x轴相交于A，B两点，且|AB|=4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[m，4]上的值域为[-5，4]，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先由已知确定函数图象的对称轴，设出函数的顶点式，将已知中的点代入可得函数的解析式；
（2）根据f（x）在区间[m，4]上的值域为[-5，4]，结合二次函数的图象和性质，可得m的值．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）中，f（1）=f（3），
∴函数的对称轴为x=2
∵图象与x轴两交点间距离为4，
∴二次函数图象与x轴两交点坐标为（0，0）与（4，0），
设抛物线解析式为y=a（x-2）²+m，
∵f（0）=0，f（1）=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}4a+m=0\\ a+m=3\end{array}\right.$，
∴a=-1，m=4，
∴f（x）=-（x-2）²+4．
（2）∵函数f（x）=-（x-2）²+4的图象是开口朝下，且以x=2为对称轴的抛物线，
故当x=2时，函数取最大值4，
令f（x）=-（x-2）²+4=-5，则x=5，或x=-1，
∵f（x）在区间[m，4]上的值域为[-5，4]，
∴m=-1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．