Question

18．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AB，CB⊥A₁ABB₁．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）若AC=5，BC=3，∠A₁AB=60°，求三棱锥C-AA₁B的体积．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理进行证明结合菱形的性质进行证明即可．
（2）求出三棱锥的底面积以及三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 证明：（1）在侧面A₁ABB₁中，∵A₁A=AB，
∴四边形AABB是菱形，∴AB₁⊥A₁B
∵CB⊥平面A₁ABB₁．
AB₁?平面A₁ABB₁，
∴AB₁⊥CB，
∵A₁B∩CB=B，
∴AB₁⊥平面A₁CB．
解：（2）∵CB⊥平面A₁ABB₁．AB?平面A₁ABB₁．
∴CB⊥AB，
在Rt△ABC中，AC=5，BC=3，
由勾股定理，得AB=4，
又在菱形A₁ABB₁中，∠A₁AB=60°，
则△A₁AB为正三角形，
则${V_{三棱锥}}_{C-A{A_1}B}=\frac{1}{3}{S_{△A{A_1}B}}×CB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×3=4\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判定以及三棱锥体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．