题目内容

6．设0＜xn＜1，xn+1=1-$\sqrt{1-{x}_{n}}$（n∈N），求$\underset{lim}{n→∞}$xn．

分析 由题意可得1-xn+1=$\sqrt{1-{x}_{n}}$，即为lg（1-xn+1）=$\frac{1}{2}$lg（1-xn），运用等比数列的定义和通项公式可得通项，在意数列极限的求法，即可得到所求值．

解答 解：0＜xn＜1，xn+1=1-$\sqrt{1-{x}_{n}}$（n∈N），
可得1-xn+1=$\sqrt{1-{x}_{n}}$，
即为lg（1-xn+1）=$\frac{1}{2}$lg（1-xn），
则{lg（1-xn）}为$\frac{1}{2}$为公比，lg（1-x1）为首项的等比数列，
则lg（1-xn）=lg（1-x1）•（$\frac{1}{2}$）n-1，
即有1-xn=$（1-{x}_{1}）^{\frac{1}{{2}^{n-1}}}$，即xn=1-$（1-{x}_{1}）^{\frac{1}{{2}^{n-1}}}$，
则$\underset{lim}{n→∞}$xn=$\underset{lim}{n→∞}$[1-$（1-{x}_{1}）^{\frac{1}{{2}^{n-1}}}$]
=1-（1-x1）0=1-1=0．

点评 本题考查数列的极限的求法，考查数列的通项的求法，运用等比数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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