Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1），则a的最小值是（　　）

• A、

  3

  2

• B、1
• C、

  1

  2

• D、2

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f(log2a)+f(log

1

2

a)≤2f(1)，
等价为f（log₂a）+f（-log₂a）=2f（log₂a）≤2f（1），
即f（log₂a）≤f（1）．
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，
∴f（log₂a）≤f（1）等价为f（|log₂a|）≤f（1）．
即|log₂a|≤1，
∴-1≤log₂a≤1，
解得

1

2

≤a≤1，
故a的最小值是

1

2

，
故选：C

点评：本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用．