Question

6．计算$\int_0^2{（1+\sqrt{8-2{x^2}}}）dx$=2+$2\sqrt{2}π$．

Answer 1

分析 $\int_0^2{（1+\sqrt{8-2{x^2}}}）dx$=${∫}_{0}^{2}$dx+$\sqrt{2}$${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$，由于${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$表示x²+y²=4的一半的面积，即可得出．

解答 解：$\int_0^2{（1+\sqrt{8-2{x^2}}}）dx$=${∫}_{0}^{2}$dx+$\sqrt{2}$${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$，
∵${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$表示x²+y²=4的一半的面积，
∴$\int_0^2{（1+\sqrt{8-2{x^2}}}）dx$=$x{|}_{0}^{2}$+$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}×π×{2}^{2}$=2+$2\sqrt{2}π$．
故答案为：2+$2\sqrt{2}π$．

点评 本题考查了微积分基本定理的应用、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．