椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的两个焦点坐标分别是.并且经过点($\frac{1}{2}$.$\frac{3\sqrt{5}}{4}$)．(I)求椭圆的标准方程,(Ⅱ)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同的两点A.B.且以AB为直径的圆通过椭圆C的右顶点P.求证:直线l过定点.并求出该定� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的两个焦点坐标分别是（-1，0），（1，0），并且经过点（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$）．
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆C交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆通过椭圆C的右顶点P，求证：直线l过定点（P点除外），并求出该定点的坐标．

分析（I）根据椭圆性质列出方程组解出a，b；
（II）联立方程组消元，利用根与系数的关系得出A，B坐标的关系，根据AP⊥BP列出方程得出k，m的关系代入直线方程即可得出定点坐标．

解答解：（I）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\\{\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{45}{16{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵以AB为直径的圆通过椭圆C的右顶点P（2，0），
∴k_AP•k_BP=-1．即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-1．
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-（km-2）•$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m²+4=0，
整理得：7m²+4k²+16km=0，
∴4（$\frac{k}{m}$）²+16$\frac{k}{m}$+7=0，
解得$\frac{k}{m}$=-$\frac{1}{2}$或$\frac{k}{m}$=-$\frac{7}{2}$．即m=-2k或m=-$\frac{2}{7}k$．
当$\frac{k}{m}$=-$\frac{1}{2}$时，m=-2k，直线l的方程为：y=kx-2k，故直线经过定点（2，0），舍去．
当$\frac{k}{m}$=-$\frac{7}{2}$时，m=-$\frac{2k}{7}$，直线l的方程为：y=kx-$\frac{2k}{7}$，故直线经过定点（$\frac{2}{7}$，0）．
∴直线l过定点（$\frac{2}{7}$，0）．

点评本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．

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	A．	（x-$\frac{1}{3}$）²+（y-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16}{3}$		B．	（x-$\frac{1}{3}$）²+（y+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16}{3}$
	C．	（x-3）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16		D．	（x-3）²+（y+2$\sqrt{3}$）²=16

	男	女	总计
爱好	40
不爱好		25
总计		45	100

p（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

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