Question

【题目】已知函数，．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数，求的单调区间；并证明：当时，；

（3）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，；证明见解析；（3）证明见解析；.

【解析】

（1）由导数的几何意义可得切线斜率为1，利用点斜式即可得解；

（2）由题意，求导后可得，即可得的单调区间；由时，即，即可得证；

（3）求出函数的导数，令，由（2）知的单调性，可得存在唯一实数使得，则，令，求导后即可得解.

（1），，，

故所求直线方程为即；

（2）由题意，

则，

的单调递增区间为，；

当时，即，

由可得即，

，得证.

（3）由题意，

则，

设，

由（2）知，在上单调递增，

又，，存在唯一实数使得，

当时，，，函数单调递减；

当时，，，函数单调递增；

在上有最小值即，

又即，

，

令，

则，函数在上单调递增，

即，

函数的值域为.