Question

【题目】袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程次后，袋中红球的个数记为.

(I)求随机变量的概率分布及数学期望；

(Ⅱ)求随机变量的数学期望关于的表达式.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).

【解析】分析：（1）由题意得到的所有取值，然后利用古典概型概率计算公式求出概率，则可得出答案；

（2）设，，则则 ， ，再把、……、用 表示，得到，从而说明为等比数列，由等比数列的通项公式得答案.

解析：(1)由题意可知.

当时，即二次摸球均摸到红球，其概率是；

当时，即二次摸球恰好摸到一红，一白球，其概率 ；

当时，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是.

所以随机变量的概率分布如下表：

(一个概率得一分不列表不扣分)

数学期望 .

(Ⅱ)设，.

则 ， .

，，，，

，.

所以，.

.

由此可知，.

又，所以.