Question

【题目】设函数（R）．

（1）求函数在R上的最小值；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；

（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值；

（2）恒成立需要保证即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到的范围；

（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围.

解：（1）令，，则，对称轴为．

①，即，．

②，即，．

③，即，．

综上可知，

（2）由题意可知，，，的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有

故．

（3）令，．由题意可知，当时，有两个不等实数解，所以原题可转化为在内有两个不等实数根．所以有