Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】(1)在区间上为增函数；在区间上为减函数.(2).(3)证明见解析.

【解析】分析：（1）由函数的解析式可得，则函数在区间上为增函数，在区间上为减函数；

（2）令，则，，而，据此可得.

（3）原不等式等价于.由（1）得，令，则，据此即可证得题中的结论.

详解：（1）函数定义域为，；

在区间上，为增函数；

在区间上，为减函数；

（2）令，

在区间，为，为减函数；

在区间，为，为增函数；

，

由（1）得，

若关于的方程有实数解等价于.

即：.

（3）原不等式等价于.

由（1）得，当且仅当时取等号，

即，当且仅当时取等号.

令，，所以函数在上为增函数，

所以，即，

由此得，即.