Question

【题目】已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列Bn＝T2n﹣Tn，判断数列的单调性，即可求出

∵3Sn＝（n+m）an，

∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，

∴3Sn＝（n+2）an，①，

当n≥2时，3Sn﹣1＝（n+1）an﹣1，②，

由①﹣②可得3an＝（n+2）an﹣（n+1）an﹣1，

即（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，

∴，

∴，，，…，，，

累乘可得an＝n（n+1），

经检验a1＝2符合题意，

∴an＝n（n+1），n∈N*，

∵anbn＝n，

∴bn，

令Bn＝T2n﹣Tn，

则Bn+1﹣Bn0，

∴数列{Bn}为递增数列，

∴Bn≥B1，

∵存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，

∴λ≥B1，

故实数λ的最小值为，

故答案为：．