Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$+ln$\frac{x}{x-1}$．
（Ⅰ）求证：f（x）图象关于点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）中心对称；
（Ⅱ）定义S_n=$\sum_{i=1}^{n-1}$f（$\frac{i}{n}$）=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），其中n∈N^*且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，求证：对于任意n∈N^*都有lnS_n+2-lnS_n+1＞$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{3}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$+ln$\frac{x}{x-1}$+$\frac{1}{2}$+ln$\frac{1-x}{x}$=1，即可证明f（x）图象关于点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）中心对称；
（Ⅱ）利用倒序相加法，求S_n；
（Ⅲ）lnS_n+2-lnS_n+1＞$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{3}}$等价于ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{3}}$，构造 函数，即可证明．

解答 （Ⅰ）证明：f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$+ln$\frac{x}{x-1}$+$\frac{1}{2}$+ln$\frac{1-x}{x}$=1
所以f（x）图象关于点$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$中心对称                 …（2分）
（Ⅱ）解：∵S_n=$\sum_{i=1}^{n-1}$f（$\frac{i}{n}$）=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）…①，
∴S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+…+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）  …②
①+②，得2S_n=n-1，∴S_n=$\frac{n-1}{2}$n∈N^*且n≥2       …（6分）
（Ⅲ）证明：当n∈N^*时，由（2）知lnS_n+2-lnS_n+1=ln（1+$\frac{1}{n}$），
于是lnS_n+2-lnS_n+1＞$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{3}}$等价于ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{3}}$             …（7分）
令g（x）=x³-x²+ln（1+x），则$g'（x）=\frac{{3{x^3}+{{（x-1）}^2}}}{x+1}$，
∴当x∈[0，+∞）时，g'（x）＞0，即函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）=0．
于是，当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＞g（0）=0，即x³-x²+ln（1+x）＞0恒成立．
故当x∈（0，+∞）时，有ln（1+x）＞x²-x³成立，
取$x=\frac{1}{n}∈（0，+∞）$，则有$ln（\frac{1}{n}+1）＞\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}$成立．…（12分）

点评 本题考查函数图象的对称性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．