Question

1．已知点A，B的坐标分别是$（-\frac{1}{2}，0）$，$（\frac{1}{2}，0）$，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是-1．
（1）过点M的轨迹C的方程；
（2）过原点作两条互相垂直的直线l₁、l₂分别交曲线C于点A，C和B，D，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是-1，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程；
（2）先求出四边形ABCD的面积，再利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）令M点坐标为（x，y），直线AM的斜率${k_1}=\frac{y}{{x+\frac{1}{2}}}$，直线BM的斜率${k_2}=\frac{y}{{x-\frac{1}{2}}}$，
因为直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是-1，所以有${k_1}-{k_2}=\frac{y}{{x+\frac{1}{2}}}-\frac{y}{{x-\frac{1}{2}}}=\frac{-y}{{{x^2}-\frac{1}{4}}}=-1$，
化简得到点M的轨迹C方程为$y={x^2}-\frac{1}{4}（x≠±\frac{1}{2}）$…（5分）
（2）由题意知，直线l₁，l₂的斜率存在且不为零，
设直线l₁的斜率为k₁，则直线l₁的方程为y=k₁x．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}x}\\{y={x^2}-\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$得${x^2}-{k_1}x-\frac{1}{4}=0$，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实根，
于是x₁+x₂=k₁，${x_1}{x_2}=-\frac{1}{4}$，
则$|{AC}|=\sqrt{（1+k_1^2）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{（1+k_1^2）（k_1^2+1）}=1+k_1^2$，
又直线l₂的斜率为$-\frac{1}{k_1}$，可得$|{BD}|=1+\frac{1}{k_1^2}$…（9分）
所以${S_{四边形ABCD}}=\frac{1}{2}|{AC}|•|{BD}|=\frac{1}{2}（1+k_1^2）（1+\frac{1}{k_1^2}）=\frac{1}{2}（k_1^2+\frac{1}{k_1^2}+2）≥\frac{1}{2}（2\sqrt{k_1^2•\frac{1}{k_1^2}}+2）=2$，
当且仅当$k_1^2=\frac{1}{k_1^2}$即k₁=±1，四边形ABCD的面积有最小值为2…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法和求四边形ABCD面积的最小值．解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用．