Question

11．已知函数$y=\sqrt{{{log}_2}（x-1）}$的定义域为A，函数y=（$\frac{1}{2}$）^x（-2≤x≤0）的值域为B．
（1）求A∩B；
（2）若C={y|y≤a-1}，且B⊆C，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意函数$y=\sqrt{{{log}_2}（x-1）}$的定义域为A，函数y=（$\frac{1}{2}$）^x（-2≤x≤0）的值域为B，求出A，B集合．根据集合的基本运算求A∩B．
（2）由题意C={y|y≤a-1}，B⊆C，根据集合的基本运算求a的取值范围．

解答 解：（1）函数$y=\sqrt{{{log}_2}（x-1）}$的定义域满足$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{lo{g}_{2}（x-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥2．
由题意：A={x|x≥2}
函数y=（$\frac{1}{2}$）^x（-2≤x≤0）的值域为1≤y≤4．
由题意：B={x|1≤y≤4}
那么：A∩B=[2，4]；
（2）由（1）可得B={x|1≤y≤4}，
由题意C={y|y≤a-1}，
∵B⊆C，
∴a-1≥4，
解得：a≥5
所以a的取值范围为[5，+∞）．

点评 本题考查了函数的定义域，值域的求法以及集合的基本运算．属于中档题．