Question

已知函数f（x）=

m

2

x²+2（1-m）x-4lnx（m∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意的x∈（0，2]，都有f（x）≥0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意知f′(x)=mx+2(1-m)-

4

x

=

mx2+2(1-m)-4

x

=

(mx+2)(x-2)

x

，分别讨论（i）当m＜-1时，（ii）当m=-1时，（iii） 当-1＜m＜0时，（iv）当m≥0时的情况，从而求出单调区间．
（2）由（1）知，当m≥-1时，f（x）在区间（0，2]上是递减函数，所以f（x）_min=f（2）=4-2m-4ln2≥0，故-1≤m≤2-2ln2．当m＜-1时，令g(x)=x-ln(x+1)，g′(x)=1-

1

x-1

=

x

x-1

，得ln（x+1）≤x）=8+

6

m

＞2＞0，从而求出m的范围．

解答： 解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），
则f′(x)=mx+2(1-m)-

4

x

=

mx2+2(1-m)-4

x

=

(mx+2)(x-2)

x

，
（i）当m＜-1时，令f'（x）=0，
得x1=-

2

m

，x2=2，
当x∈(0，-

2

m

)∪(2，+∞)时，f'（x）＜0；
当x∈(-

2

m

，2)时，f'（x）＞0．
故f（x）的单调递减区间为(0，-

2

m

)和(2，+∞)，单调递增区间是(-

2

m

，2)．
（ii）当m=-1时，f′(x)=-

(x-2)2

x

≤0，
当且仅当x=2时取等号，故f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
（iii） 当-1＜m＜0时，令f'（x）=0，得x1=2，x2=-

2

m

，
当x∈(0，2)∪(-

2

m

，+∞)时，f'（x）＜0；
当x∈(2，-

2

m

)时，f'（x）＞0．
故f（x）的单调递减区间为(0，2)和(-

2

m

，+∞)，单调递增区间是(2，-

2

m

)．
（iv）当m≥0时，lf′(x)=

mx+2

x

•(x-2)，
当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0．
故f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间是（2，+∞）．
（2）由于当x∈（0，2]时，f（x）≥0恒成立等价于f（x）_min≥0．
由（1）知，当m≥-1时，f（x）在区间（0，2]上是递减函数，
所以f（x）_min=f（2）=4-2m-4ln2≥0，故-1≤m≤2-2ln2．
当m＜-1时，
f(x)min=f(-

2

m

)=4-

2

m

-4ln(-

2

m

)=4-

2

m

-4ln((-

2

m

-1)+1)≥4-

2

m

-4(-

2

m

-1)，
（其中应用了ln（x+1）≤x，
证明如下：
令g(x)=x-ln(x+1)，g′(x)=1-

1

x-1

=

x

x-1

，
当-1＜x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0，
所以g_min（x）=g（0）=0，所以g（x）≥0，
即ln（x+1）≤x）=8+

6

m

＞2＞0，
故当m＜-1时，f（x）≥0恒成立．
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，2-2ln2]．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，参数的范围，是一道综合题．