Question

已知函数f（x）=

x+ 4 x +1，x＞0 -x- 4 x +1，x＜0

（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）试用函数单调性定义说明函数f（x）在区间（0，2]和[2，+∞）上的增减性；
（3）若x₁，x₂满足：1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4，试证明：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇偶性的定义可得结论；
（2）根据函数单调性定义，可得函数f（x）在区间（0，2]上是减函数，在区间[2，+∞）上是增函数；
（3）证明1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4时，则5≤f（x₁）≤6，5≤f（x₂）≤6，即可得证．

解答： （1）解：∵当x＞0时，-x＜0，∴f(x)=x+

4

x

+1，f(-x)=-(-x)-

4

-x

+1=x+

4

x

+1
∴f（x）=f（-x）（2分）
∵当x＜0时，-x＞0，∴f(x)=-x-

4

x

+1，f(-x)=(-x)+

4

-x

+1=-x-

4

x

+1
∴f（x）=f（-x）（4分）
∴对x≠0都有f（x）=f（-x），故f（x）为偶函数                      （5分）
（2）解：当x＞0时，f(x)=x+

4

x

+1
设x1，x2∈R+且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

（7分）
∴当0＜x₁＜x₂≤2时，f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
当2≤x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）（9分）
∴函数f（x）在区间（0，2]上是减函数，在区间[2，+∞）上是增函数        （11分）
（3）证明：由（2）可知，当1≤x≤4时：
若1≤x≤2，则f（2）≤f（x）≤f（1）即5≤f（x）≤6
若2≤x≤4，则f（2）≤f（x）≤f（4）即5≤f（x）≤6
∴当1≤x≤4时，有5≤f（x）≤6（12分）
又由（1）可知f（x）为偶函数，∴当1≤|x|≤4时，有5≤f（x）≤6（13分）
∴若1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4时，则5≤f（x₁）≤6，5≤f（x₂）≤6（14分）
∴-6≤-f（x₂）≤-5，-1≤f（x₁）-f（x₂）≤1即|f（x₁）-f（x₂）|≤1．（15分）

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的证明，属于中档题．