题目内容

已知F1，F2为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，且椭圆C上的点A（1，
3
2
）到两个焦点F1、F2的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程，并写出其焦点F1、F2的坐标；
（2）过椭圆C的右焦点F2任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且直线MA与直线MB关于x轴对称，求点M的坐标；
（3）根据（2）中的结论特征，猜想出关于所有椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个一般结论（不需证明）．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件得|AF1|+|AF2|=2a=4，
1
4
+
9
4
b2
=1，由此能求出椭圆C的方程和焦点F1，F2．
（2）由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（t，0），弦AB所在的直线方程为：y=k（x-1），则y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），由
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出点M的坐标．
（3）利用（2）中的结论特征进行归纳总结，能够猜想出关于所有椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个一般结论．
解答： 解：（1）∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴a=2，
又A（1，
3
2
）在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，
∴
1
4
+
9
4
b2
=1，解得b2=3，
∵c2=a2-b2=4-3=1，∴c=1，
∴椭圆C的方程是
x2
4
+
y2
3
=1，焦点为F1（-1，0），F2（1，0）．
（2）由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（t，0），
弦AB所在的直线方程为：y=k（x-1），
则y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
解方程组
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，
由韦达定理，得x1+x2=
8k2
4k2+3
，①
x1x2=
4k2-12
4k2+3
，②
∵直线MA与直线MB关于x轴对称，
∴kAM+kBM=0，∴
y1
x1-t
+
y2
x2-t
=0，
t=
x1y2+x2y1
y1+y2
=
2x1x2-(x1+x2)
x1+x2-2
=
2×
4k2-12
4k2+3
-
8k2
4k2+3
8k2
4k2+3
=4，
∴点M的坐标为（4，0）．
（3）过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F2（或左焦点F1）任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且直线MA与直线MB关于x轴对称，则点M为定点(
a2
c
，0)（或(-
a2
c
，0)）．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的坐标的求法，考查椭圆的一般性结论的猜想，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
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B、[1，2）
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D、（0，1]
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a
，
b
，满足|
a
+
b
|=|
a
-
b
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a
=
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a
=-
b
C、
a
∥
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a
⊥
b
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m
2
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1
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-
1
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m
2
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