Question

设奇函数f（x）定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上，f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式

3f(x)-2f(-x)

5x

＜0的解集为（　　）

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：数形结合,函数思想,函数的性质及应用

分析：根据已给的函数性质，结合奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象，注意过点（1，0）和（-1，0），且在（-∞，0）和（0，+∞）上有相同的单调性，再将要解的不等式据函数性质化简为xf（x）＜0，据图可得不等式的解集．

解答： 解：∵奇函数f（x）定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上，在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，
∴函数f（x）的关于原点对称，且在（-∞，0）上也是增函数，过点（-1，0），所以可将函数f（x）的图象画出，大致如下

∵f（-x）=-f（x），∴不等式

3f(x)-2f(-x)

5x

＜0可化为

f(x)

x

＜0，即xf（x）＜0，不等式的解集即为自变量与函数值异号的x的范围，
据图象可知x∈（-1，0）∪（0，1）．
故选D

点评：此题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，解题抓住两点：①抽象函数直观化，即借助于图象表现其性质，借助于图象求解；②函数的奇偶性与单调性的关系，奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数的单调性则相反．