题目内容

设数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求实数a的值；
（Ⅱ）试问数列 $数学公式$ 能否为等比数列．若是等比数列，请写出相应数列{a_n}的通项公式；若不能，请说明理由．

解：（Ⅰ）∵a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹，
∴a₂+2a₁=2²，a₃+2a₂=2³，
∴a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，∴2（-2a+4）=a+4a，∴ $\text{[math]}$ （4分）
（Ⅱ）因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，（6分）
得： $\text{[math]}$ ，故若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，-1为公比的等比数列，则必须a≠1．
故a≠1时，数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，此时 $\text{[math]}$ ，否则当a=1时，数列 $\text{[math]}$ 的首项为0，该数列不是等比数列．
分析：（Ⅰ）根据a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹，对n取值，再利用a₁，a₂，a₃成等差数列，即可求实数a的值；
（Ⅱ）条件等价于 $\text{[math]}$ ，故若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，-1为公比的等比数列，则必须首项不为0，从而可得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判断，考查学生的计算能力，属于中档题．

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（n∈N^*）．
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}的前n项和为T_n，证明：

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